Buenos días a todos y todas:
Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.
En general, si tenemos dos cuerpos  y  de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que  es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio  del que α es raíz (p(α) = 0).
El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable, de lo que se deduce que hay muchos más números trascendentes que algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (Γ) lo es, siendo Γ = , cuando . La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si este es trascendente o no.
La constante matemática e es uno de los más importantes números reales. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.
El número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i del análisis complejo. El simple hecho de que la función ex coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville: donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.
El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos: es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.
Aquí está una lista de los números transcendentes más comunes:
e
π
 o, de forma más general, ab donde  es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si ab es trascendental cuando  es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el Teorema de Gelfond-Schneider.
ln(a) si a es positivo, racional y diferente de 1. Veasé Logaritmo natural
 y  (véase función Gamma).
Número de Mahler: 0.123456789101112131415161718192021...
Ω, Constante de Chaitin.
 
donde  es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...
 Número de Liouville
Esta mañana me he levantado pensando en las matemáticas del mundo científico, las frías matemáticas del mundo científico, esas matemáticas que adormecen los párpados de los estudiantes que, escuchando sobre ela trascendencie del número "e" y otros números... lo único que desean, en estas primeras horas de la mañana, es la trascendencia de poder o no poder salir con la chica que está sentada un par de mesas delante de ellos. Esa chica que les hace olvidar el número "e" el número "pi" y cualquier otro número matemático porque el único número en el que están interesados es en el del teléfono móvil o fijo de las chavalilla que está sentada dos mesas delante de ellos.
Yo estoy pensando en el café. En la trascendencia del café tomado, poco a poco, lentamente, junto a mi chavala. Sé su nùmero telefónico. Es mi esposa. Y sólo estoy pensando en escribir un poema de amor que me aleje definitivamente de las demostraciones e indemostraciones de las trascendencias del n+umero "e" y d ela simposibilidades de poder saber el valor exacto del númeor "pi".
Hubo un tiempo en que mi agenda estaba llena de números trascendentales (pero no trascendentes) para mí. Numeros de teléfonos de chicas. Números que me bailaban en la mente mientras yo soñaba con el trascendental número telefónico de Ella (la que es mi actual esposa). Y entonces me olvidé para siempre de las trascendencia del número "e", de las imposibilidades de saber cuál es el valor exacto del número "pi" que demuestra que las circunferencias son imperfectas y de los trascendentales (pero no trascendentes) números de tantos teléfonos de chicas anotados en mi pequeña agenda.
No sé qué fue de ella (de mi agenda) como tampoco sé qué fue de ellas (aquellas chicas que llenaron una época de mi vida juvenil) pero hoy estoy tomando mi caf´´e junto a la única mujer que es, en realidad, trascendente para mí. Lo demás sólo son recuerdos de tardes aburridas sentado en un pupitre intentando comprender hacia donde iban a derivar todos aquellos números trascendentes e imposibles de las matemáticas; recuerdos de noches buscando en la pequeña agenda el número más exacto posible de la chica más apropiada... ya sólo son pequeños recuerdos colgados en mi conscinecia. Claro que todavía recuerdo a los logaritmos neperianos y a las múltiples maniobras que tenía que hacer para conseguir nùmeros telefónicos de chicas pero ya sólo son escenas borrosas de un niño sentado en un pupitre dibujando fórmulas algebraicas y un joven anotando números de teléfonos fijos en mi pequeña agenda repleta de nombres de chicas que se diluyeron en el ayer. Hoy no. Hoy tengo el nombre de Ella grabado en mi corazón. Y tengo el número de su telefóno grabado en mi corazón. Y tengo, también, la mirada de ella grabada en mi corazón.
Y tomando mi café olvido tantos números matemáticos que me hicieron estudiar las fuerzas centrífugas de mi familia. Bebo lentamente, poco a poco, y por cada sorbo que doy me convierto de nuevo en el mismo joven de siempre... sólo que ahora cada sorbo que doy es un número de teléfono de chica que se pierde en la lejanía de los recuerdos... cada sorbo que doy es un beso de chica que nunca recibí y que se pierde en el limbo de lo inexistente... cada sorbo que doy es una experiencia nueva... un nuevo renacer en el beso que me dio la vida. Y comienzo la alegre mañana cantando la misma canción de anoche: "Tú eres ese beso que yo nunca olvidaré; el beso que me dio la vida; el beso que siempre recordaré". Me estoy refiriendo al beso de Lina... Lina de los Ángeles... Liliana...
Buenos días si me has leído, buenos días si no me has leído, buenos días si alguna vez me vas a leer, buenos días si nunca jamás me vas a leer... porque esa es la verdadera trascendencia de mi café de esta mañana: el beso de mi esposa haciéndome olvidar todos los números trascendentales (pero no trascendentes) de las chicas de ayer. No me importa en absoluto si he cometido alguna falta ortográfica. Lo único que me importa, en realidad, es seguir soñando con Ella.